Nr.1 a) Regn ut laplace-tranformen til funksjonen f idet du benytter
        definisjonsintegralet:
                   
                           0        t < 0
               f(t)  =    et     0 < t < 1
                          e-t+1    t > 1

        (merk at f er kontinuerlig for t > 0)

     b) Finn så laplace-transformasjonen til hver av følgende funksjoner

        (i)  u(t)(t-2)2   ,  (ii)  u(t)tsin2t  ,  (iii)  u(t)e-2t cost

        (iv)  u(t-2)t2    ,  (v)   u(t-1)cos(t-1)


Nr.2 Inverter laplace-transformene:

                1                     s              1
        (i)   —————      ,   (ii)   —————    , (ii)  — ( e-2s + 1)
              (s-2)2                (s-2)2           s


Nr.3 Vi definerer f slik:  f(t) = 0  når t < 0,  f(t) = t  når 0 < t < 1
     og f(t) = e-(t-1) når t > 1

     a) Tegn grafen til f og utrykk f ved hjelp av enhetssprangfunksjonen, u.

     b) Finn av dette laplace-transformasjonen til f.

     c) Inverter laplace-transformene:

                        1                1    -2s                 #
               (i)   ——————    (ii)   —————— e
                     s(s+1)           s(s+1)                      œ

        samt
                       1     1             1     1   -s        #
             (iii)   ———— · ————    (iv)  ——— · ——— e
                     s2+2    s+1          s2+2   s+1            œ

     d) Løs startverdi-problemet:

                  x'' + 2x = e-t u(t-1)

                  x(0) = 0 ,  x'(0) = 1

       (jmf  c) (iv)


Nr.4 La f være en 2-periodisk funksjon som i <-1, 1> er definert slik:

                     1    -1 < t < 0         #
             f(t) =
                    t-1    0 < t < 1         œ

     a) Regn ut  f(7/3)  f(102)   samt summen av Fourier-rekken til f
        for t=7/3  og  t = 102

     b) Finn Fourier-rekken til f.

     c) Sett inn t=1 i fourier-rekken og skriv ut den rekken du da får.

        Prøv fra dette å finne summen av rekken:

                     1    1     1      1
                 1 + - + ——— + ——— +  ——— + ....
                     9   25    49     81

        (nevnerne i brøkene er altså kvadratet av oddetallene)


 Merk at formelen for delvis integrasjon:

                  b                     b
                  ∫ u·v' dt = [u·v]  -  ∫ u'·v dt
                  a                     a

 gjelder også når funksjonene u, v bare er *stykkevis* deriverbare så sant
 de KONTINUERLIGE.