Nr1. Gitt:

               ∞  (—1)k
(1)            ∑  ——————
              k=1   k

     a) Det som står skrevet i (1) er symbol for en rekke. Hvilken rekke er
        det?  *)

     b) Rekken i (1) er konvergent. Hvilken setning kan du bruke for å vise
        at den konvergerer. (Du skal ikke gjennomføre undersøkelsen).

     c) Symbolet i (1) har også en annen betydning, nemlig rekkens grense-
        verdi. Det kan vises at grenseverdien er -ln2, altså har vi at:

                      ∞  (—1)k
(2)            -ln2 = ∑  ——————
                     k=1   k

        Skriv opp konkret hva dette betyr idet du bruker "lim-notasjon".

     d) Studer leddene i rekken (1) nøye idet du også skriver ut stadig
        flere delsummer og finn en begrunnelse for at summen av rekken
        må bli negativ.  **)

     e) Regn så ut summen av denne rekken:

                      ∞  (—1)k
(3)                   ∑  ——————
                     k=2   k

Nr2. Undersøk konvergensen av følgende rekker:

             ∞  2+(—1)k              ∞  (-3)k           ∞       lnk
     a)      ∑  ————————      b)     ∑  ——————      c)  ∑ (-1)k·———
            k=1  k^2+1              k=0 2k+1           k=1       k


             ∞   k
     d)      ∑  —————
            k=2 k2-3


Nr3.  Taylor-rekken til -ln(1-x) i 0 konvergerer mot -ln(1-x) og vi har:

                       ∞  xk
(4)        -ln(1-x) =  ∑  ———
                      k=1 k


      a) Vis at du får denne rekken ved å integrere rekken for 1/(1-x). ***)

      b) Hva kan du ut fra dette si om konvergensområdet til rekken i (4)?

         Ved hjelp av (4) kan vi da finne ln(1/2). Forklar hvorfor og
         finn så ln(1/2) i form av en uendelig rekke.

Nr4.  a) Finn konvergensradius og konvergensområdet til potensrekkene:

                ∞  k+1                    ∞               ∞   k+1
          (i)   ∑  ———— (x-2)k     (ii)   ∑ (4x)k   (iii)  ∑  ——— xk
               k=1 k·2k                  k=0              k=0  k!


      b) Prøv å finne hvilke funksjoner rekkene (i) og (ii) i a) definerer,
         altså finn en summeformel.

         HINT. du må her ta utgangspunkt i kjente rekker samt foreta en
               bearbeiding når det gjelder rekke (i). ****)


----------------------------------------------------------------------------

  *) for å kunne svare på dette må du vite hva som menes med en rekke.


  **) hint merk av på tallinjen hvor de ulike delsummene havner.

  ***) egentlig må du endre på summasjonsfølgen du får ved integrasjon for
       å få oppgitt følge.

             ∞         ∞
       Husk  ∑ a(k) =  ∑  a(k-1)
            k=0       k=1

  ****) det er også mulig å finne summen av rekke (iii), i hvert fall hvis
        du benytter en liten integrasjon.